EQUATIONS ALGEBRIQUES

SOMMAIREA la recherche des inconnuesPartages et héritages amenaient déjà les Anciens à résoudre des équations sans le savoir. Au fil des siècles, la manière d'aborder les équations et leurs méthodes de résolution ne cessèrent d'évoluer.Dossier 1 : Résolution exacteDe simples manipulations algébriques permettent de résoudre toutes les équations de degré au plus 4. C'est Galois qui établie l'impossibilité de poursuivre ces manipulations avec succès pour le degré 5.Au temps du certificat d'études / A la recherche des racines évidentes / Les manipulations algébriques / Rafaele Bombelli / Cardan, Tartaglia et le troisième degré / L'équation du scribe Ahmes / Qu'est-ce qu'un groupe? / Évariste Galois / Le premier article de Galois / Les équations réciproques / L'impossibilité de Galois / Les équations sur le comptoir / L'esprit de l'escalierDossier 2 : Résolution géométrique ou graphiqueLa découverte du premier irrationnel remit en cause la représentation des grandeurs. Elle amena les Grecs à s'intéresser aux solutions d'équations constructibles à la règle et au compas.Le premier irrationnel / Un problème d'algèbre à la règle et au compas / Le problème des deux échelles / Des équations, mais pas de calculs! / Les nombres constructibles / L'étoile en or / Les courbes à résoudre / Les abaquesDossier 3 : Résolution numérique approchéeFaute de trouver à une équation des solutions rationnelles exactes, on peut en obtenir des approximations rationnelles très fines grâce à des méthodes itératives. La plus simple est la dichotomie. Quant à la méthode de Newton, elle a pris sa pleine puissance grâce aux ordinateurs.Les lunettes itératives / Où sont les racines ? / Joseph-Louis Lagrange / Autour du théorème de Sturm / Des racines au goutte à goutte / Al Khwarizmi / L'équation du beau / François Viète / Quel est le taux effectif d'un emprunt’ / La méthode de BairstowDossier 4 : Au-delà des équationsEn cherchant à résoudre les équations algébriques, les mathématiciens firent des découvertes dépassant de loin ce domaine : les nombres complexes, la transcendance, la théorie de Galois et bien d'autres…Jean le Rond d'Alembert / Les anneaux de polynômes / Les livres à équations / Le champ des complexes / Karl Friederich Gauss / Puiseux et les coefficients en t / Algébriques et transcendantsDossier 5 : Énigmes policières, équations à problèmesBien des problèmes de mathématiques, célèbres ou pas, se ramènent à la résolution d'une ou plusieurs équations. Il en est de même des énigmes des romans policiers.Diophante et ses équations / Pierre de Fermat / Le problème des boeufs du Soleil / Le crime en équation / Flair policier / L'hyperbole du crime / L'équation des prisons